1、罗尔中值定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少存在一点ξ，使得

\[f^{^{'}}\left (\varepsilon \right )=0\]

证明：因为连续，所以在[a,b]上存在最大最小值，设为M,m。

（1）若M=m，则f(x)为定值，所以导数恒为0。

（2）否则，由于f(a)=f(b),所以M和m不可能都在端点处取得。设f(c)=M,c∈(a,b)。因为f(c)=M是最大值，所以对$\Delta x\neq 0$有

\[f\left(c+\Delta x \right )-f\left(c \right )\leq 0,c+\Delta x \in \left(a,b \right )\]

所以，当$\Delta x>0$时，

\[\frac{f\left(c+\Delta x \right )-f\left(c \right )}{\Delta x}\leq0\]

因为导数存在，所以

\[f^{^{'}}\left(c \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{^{+}}}\frac{f\left(c+\Delta x \right )-f\left(c \right )}{\Delta x}\leq0\]

同理$\Delta x<0$时

\[f^{^{'}}\left(c \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{^{-}}}\frac{f\left(c+\Delta x \right )-f\left(c \right )}{\Delta x}\geq 0\]

所以$f^{^{'}}\left(c \right )=0$。因此可取ξ=c。

2、拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，满足

\[f^{^{'}}\left(\xi \right )=\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{b-a}\]

证明：定义函数$\varphi (x)$，

$\varphi \left(x \right )=f\left(x \right )-[f\left(a \right )+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) ]$

那么有$\varphi (a)$=$\varphi (b)$=0,由罗尔定理，(a,b)存在一点ξ使得$\varphi^{^{'}} \left(\xi\right )=0$，即

\[\varphi^{^{'}} \left(\xi \right )=f^{^{'}}\left(\xi \right )-\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{b-a}=0\]

所以\[f^{^{'}}\left(\xi \right )=\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{b-a}\]

3、柯西中值定理：设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且$g^{^{'}}\left(x \right )\neq0 (a<x<b)$，则在(a,b)内存在一点ξ,满足

\[\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{g\left(b \right )-g\left(a \right )}=\frac{f^{^{'}}\left(\xi \right )}{g^{^{'}}\left(\xi \right )},\xi\in(a,b)\]

证明：由于$g^{^{'}}\left(x \right )\neq0(a<x<b )$，所以g(a)!=g(b)。否则与罗尔定理矛盾。定义函数$\varphi (x)$,

$\varphi (x)=f(x)-[f\left(a \right )+\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{g\left(b \right )-g\left(a \right )} [g(x)-g(a) ]]$

由于$\varphi (a)$=$\varphi (b)$=0，所以根据罗尔定理，在(a,b)内存在ξ，使得

\[\varphi^{^{'}} \left(\xi \right )=f^{^{'}}\left(\xi \right )-\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{g\left(b \right )-g\left(a \right )}g^{^{'}}\left(\xi \right )=0\]

即

\[\frac{f\left(b \right )-f\left(a \right )}{g\left(b \right )-g\left(a \right )}=\frac{f^{^{'}}\left(\xi \right )}{g^{^{'}}\left(\xi \right )},\xi\in(a,b)\]

4、洛必达法则1：设函数f(x),g(x)满足条件:

$(1)\lim_{x\rightarrow a }f\left(x \right )=0,\lim_{x\rightarrow a }g\left(x \right )=0$

(2)在点a的某邻域内（a可除外）可导，且$g^{^{'}}\left(x \right )\neq0$

$(3)\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{^{'}}\left(x \right )}{g^{^{'}}\left(x \right )}=A$(或者oo)

那么

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x \right )}{g\left(x \right )}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{^{'}}\left(x \right )}{g^{^{'}}\left(x \right )}=A$(或者oo)

证明：若f(x) 和g(x)在a处连续，那么f(a)=g(a)=0,否则我们可以人为定义f(a)=g(a)=0，使得f(x)和g(x)在a处连续。设x为a附近一点，那么在以x和a为端点的区间上，f(x)和g(x)满足柯西中值定理，所以在(x,a)之间存在ξ,使得

\[\frac{f\left(x \right )}{g\left(x \right )}=\frac{f\left(x \right )-f\left(a \right )}{g\left(x \right )-g\left(a \right )}=\frac{f^{^{'}}\left(\xi \right )}{g^{^{'}}\left(\xi \right )},\xi\in(x,a)\]

所以当x->a时，ξ->a，求极限得：

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x \right )}{g\left(x \right )}=\lim_{\xi \rightarrow a}\frac{f^{^{'}}\left(\xi \right )}{g^{^{'}}\left(\xi \right )}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f^{^{'}}\left(x \right )}{g^{^{'}}\left(x \right )}$

5、洛必达法则2：设函数f(x),g(x)满足条件:

$(1)\lim_{x\rightarrow a }f\left(x \right )=oo,\lim_{x\rightarrow a }g\left(x \right )=oo$

(2)在点a的某邻域内（a可除外）可导，且$g^{^{'}}\left(x \right )\neq0$

$(3)\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{^{'}}\left(x \right )}{g^{^{'}}\left(x \right )}=A$(或者oo)

那么

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x \right )}{g\left(x \right )}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{^{'}}\left(x \right )}{g^{^{'}}\left(x \right )}=A$(或者oo)